ヒロ研 Hiro Lab. 極限値計算の導出過程メモ

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lim{x->pi}(x^sinx - 1/(x - pi))の導出過程






$\displaystyle \lim_{x \to \pi}\frac{x^{\sin{x}}-1}{x-\pi}$

ロピタルの定理より以下が成り立つ.

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$


ここで

$\displaystyle f(x)=x^{\sin{x}}-1$,$\displaystyle g(x)=x-\pi$

とし,それぞれ微分したものを求める.

$f(x)$の第1項についての微分は,$y=x^{\sin{x}}$として考える.

両辺に対数をとると,

$ \log{y}=\sin{x}\log{x}$

となり,両辺を$x$で微分する.

$\displaystyle \frac{y'}{y}=\cos{x}\log{x} + \sin{x}\cdot\frac{1}{x}$

$\displaystyle y'=x^{sin{x}}(\cos{x}\log{x} + \frac{sin{x}}{x})$

したがって$f'(x)$の微分は,

$\displaystyle f'(x)=x^{sin{x}}(\cos{x}\log{x} + \frac{sin{x}}{x})$

$\displaystyle g'(x)=1$

したがって,

(与式)$\displaystyle = \lim_{x \to \pi}{(x^{sin{x}}(\cos{x}\log{x} + \frac{sin{x}}{x}))}$

    $\displaystyle = \pi^0(-1\cdot\log{\pi} + \frac{0}{\pi})$

    $=-\log{\pi}$




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