ヒロ研 Hiro Lab. 極限値計算の導出過程メモ

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lim{x->∞}(1+2/x)^xの導出過程






$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\frac{x}{x+2})^x$

$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}(\frac{x+2}{x+2}+\frac{-2}{x+2})^x$

$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}(1+\frac{-2}{x+2})^x$


ここで,ネイピア数の一般式

$\displaystyle e^n=\lim_{x \to \infty}(1+\frac{n}{x})^x$

に当てはめて考える.この時,極限値内の第2項の分母$x+2$に関しては,$x \to \infty$なので,$x$として扱っても差し支えないため,

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{-2}{x+2})^x=e^{-2}$

となる.したがって,

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\frac{x}{x+2})^x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$




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