ヒロ研 Hiro Lab. 極限値計算の導出過程メモ

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lim{x->0}(e^x - e^(-x))/(log(x+1))の導出過程






$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\log{x+1}}$   (1)

ロピタルの定理より以下が成り立つ.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$


ここで

$\displaystyle f(x)=e^x-e^{-x}$,$\displaystyle g(x)=\log{x+1}$

とし,それぞれ微分したものを求める.


$\displaystyle f'(x)=e^x+e^{-x}$

$\displaystyle g'(x)=\frac{1}{x+1}$

となるため,(1)式は以下のように表すことができ,導出可能な形となる.

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^x+e^{-x}}{\frac{1}{x+1}}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 0}(e^x+e^{-x})(x+1)$

$\displaystyle = (1 + 1)(0 + 1)$

$\displaystyle = 2$




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