ヒロ研 Hiro Lab. 極限値計算の導出過程メモ

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cos^(-1)(tan(log_a(x)))の微分導出過程






$ \cos^{-1}({\tan({\log_{a}x})}) $

$ y=\cos^{-1}({\tan({\log_{a}x})}) $とし,$A={\tan({\log_{a}x})}$とすると,

$y=\cos^{-1}A$と表せる.

ここで両辺を$A$で微分すると,

$\displaystyle y'=-\frac{1}{\sqrt{1-A^2}}\cdot A' $

$\displaystyle A'=(\tan(\log_{a}x))'\\ \displaystyle ~~~~=\frac{1}{\cos^2(\log_{a}x)}\cdot(\log_{a}x)'\\ \displaystyle ~~~~=\frac{1}{\cos^2(\log_{a}x)}\cdot\frac{1}{x\log{a}} $

となる.


したがって

$\displaystyle y'=-\frac{1}{x\log{a}\cdot\cos^2{\log_{a}{x}\sqrt{1-\tan^2{\log_{a}{x}}}}} $




もし,このとき分母の$\cos^2$のうちひとつだけルートの中に入れると,

$\displaystyle y'=-\frac{1}{x\log{a}\cdot\cos{\log_{a}{x}\sqrt{\cos^2{\log_{a}{x}}-\tan^2{\log_{a}{x}}\cdot\cos^2{\log_{a}{x}}}}} $となる,

このとき,$\displaystyle \tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$なので,

$\displaystyle y'=-\frac{1}{x\log{a}\cdot\cos{\log_{a}{x}\sqrt{\cos^2{\log_{a}{x}}-\sin^2{\log_{a}{x}}}}} $とも変形できる.


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